Polígonos estrellados.

Concepto y elementos específicos.

Si una circunferencia se divide en n partes y se unen sucesivamente estas divisiones (vértices), se obtiene un polígono regular convexo según hemos visto, pero si se unen de dos en dos, de 3 en 3, etc.., estos vértices, los polígonos resultantes son cóncavos y estrellados.

GÉNERO. g: Se denomina así al número de cuerdas o lados del polígono estrellado.
El género coincide con el número de vértices del polígono por lo que un polígono estrellado se denomina igual que uno convexo (Con un género 5, pentágono estrellado = pentágono).
PASO. p: Número de divisiones de la circunferencia, que comprende cada lado del polígono estrellado.
ESPECIE .e: En base al paso se establecen diversas especies, 1ª especie, si se unen los vértices de dos en dos, de 2ª especie si lo hacemos de 3 en 3 etc..

Polígonos estrellados de los convexos.

El número de polígonos estrellados que tiene un polígono regular convexo ¹ es el número de cifras primas con él menores de su mitad. Estas cifras primas nos indican además el paso del polígono y por tanto su especie.

Por ejemplo en el pentágono dividimos 5 por dos (5/2 = 2.5) y observamos que el número 2 es menor que la mitad de 5 (2.5) y primo de 5 pues 5 no es divisible entre él. Podemos deducir por tanto que el pentágono tiene un solo polígono estrellado, y no solo eso sino que, además, su paso es 2 (se van tomando los vértices de 2 en 2) pues 2 es el número primo resultante de la operación. El polígono así obtenido será por tanto de 1ª especie.
Hexágono: 6/2 = 3; 3, 2 y 1 no son primos de 6 pues los tres lo dividen sin generar decimales. El hexágono no tiene ningún polígono estrellado pues de su mitad a 0 no tiene primos.
Heptágono: 7/2 = 3.5. Los números 3 y 2 son los primos de 7. El heptágono tiene dos polígonos estrellados (dos primos) de pasos 2 y 3, o especies 1ª y 2ª.

Construcción.

El triángulo no tiene polígono estrellado.
El cuadrado no tiene polígono estrellado.
El pentágono uno de 1ª especie.
El hexágono ninguno.
El heptágono dos, de 1ª y 2ª especie.
El octógono uno, de 2ª especie.
El eneágono dos, de 1ª y 2ª especie.
El decágono uno, de 2ª especie, falla la regla: Tenemos 10/2 = 5, los números 4 y 3 son primos y menores que su mitad si bien solo podremos trazar un polígono estrellado de 2ª especie.
Con once vértices 4 polígonos estrellados, de 1ª, 2ª, 3ª y 4ª especie.
El dodecágono un estrellado, uniendo sus vértices de 5 en 5 o 4ª especie.